打人行为在特定情况下会构成犯罪，具体来说：
1. 如果打人行为导致被害人受到轻伤以上的伤害，根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定，这种行为构成故意伤害罪。
2. 如果打人行为是在公共场所无故、随意进行，即使未造成轻伤以上的后果，但导致两人或两人以上轻微伤，这种行为可能构成寻衅滋事罪。
3. 如果是双方聚众斗殴，根据《中华人民共和国刑法》第二百九十二条的规定，首要分子和其他积极参加者可能构成聚众斗殴罪。
需要注意的是，即使行为人的殴打行为未造成轻伤以上的后果，如果其行为具有其他社会危害性，如持械随意殴打他人，也可能触犯法律。